運動の第2法則の基礎！説明と練習問題
ニュートンの力学の基礎を、運動の法則のうち、第2の法則について以下で分かり易く説明します。また、簡単な問題を３つほどご用意しました。
【本記事の内容】
- 運動の第2法則の意味
- 運動の第2法則の式
- 練習問題3つ
それでは、以下参考にどうぞ。
運動の第2法則の基礎！説明と練習問題
ニュートンの法則(運動の第2法則)とは、慣性の法則(運動の第1法則)における物体の運動状態の変化と物体に作用する力の関係を示す法則のことです。
簡単解説:
慣性の法則において、「物体の加速度＝物体に働く力に比例、物体の加速度＝質量に反比例する」ということです。
物体の運動状態の時間変化が、物体に作用する力に比例し、方向が同じになることを主張する。
1687年、アイザック・ニュートンの著書「自然哲学の数学的諸原理」に記されている法則。天体の運動や有名な万有引力の法則も扱っています。
ニュートンの法則「運動の第2法則」の式:
簡単解説:
物体に働く力Fを式で求めるときは、
物体に働く力F＝物体の質量m×加速度a
物体に働く力が(F)小さいと、加速(a)しない。働く力(F)が大きいと、加速(a)します。
つまり、物体に働く力(F)は物体に働く加速度(a)に比例します。
加速度aを式で求めるときは、
加速度a＝物体に働く力F／物体の質量m
物体の質量(m)が大きいと、なかなか加速(a)しません。大小違う質量(m)に同じ力(F)を働きかけたとき、大きい質量(m)はあまり加速(a)しません。
つまり、加速度(a)は質量に反比例して減少します。
これが、ニュートンの法則(運動の第2法則)です。
更に簡単に:
加速度(a)の大きさは、物体に働きかける合力(F)に比例します。そして、物体の質量に反比例します。
１つの物体に働く力(F)が2倍になると、加速度は2aになります。これは、働く力(F)が大きなると、加速度も比例して大きくなるということです。
※同じ質量(m)の物体を同じ力(F)の人が、1人で力(F)を加えるより、2人の力(2F)を加える方が速く動かせるよねってことです。
物体に働く力:2F＝加速度:2a(物体に働く力F＝物体の質量m×加速度a)
だけど、力(2F)を一定にして、質量(ｍ)から2mにすると、加速度は1／２(a)。つまり、半分になります。
2人で同じ力(F)を加えて、2F(2倍)としても、質量が2倍になって2mとなれば、加速度は、半減するよねってことです。
質量:2m＝加速度:1／2(a) (加速度a＝物体に働く力F／物体の質量m)
単位:
- 質量(m)はkg
- 加速度(a)はｍ/s²
- 物質に働く力(F)はN
と単位表示されます。
基本問題(1):
運動方程式は「物体に働く力(F)＝質量(m)と加速度(a)の積の力」なので、
この式に代入すると、
F＝m(6ｋｇ)×a(2m/s²)
＝12(Ｎ)
基本問題(2)
同じく、運動方程式 ma＝Fに代入すると、
3ｋｇ×a＝30 なので、a＝10(m/s²)
ラスト(3)
ある物体の質量(m)は、運動方程式ma＝Fのmを求めるということです。
m×5＝30 なので m＝6(kg)です。
比例と反比例が関係しています。
運動方程式ma=Fは展開して、
m=F／a または a=F／m
とすることができます。
別に3つの式を覚えずとも、運動方程式ma=Fを使って変形して求めればできるので、安心です。
比例、反比例の関係を理解できれば、OKです。
運動の第二の法則まとめ:
運動の法則とは、物体に力が働くとき、力の働く方向に加速度が生じることで、その加速度(a)の大きさは、物体に働く力(F)に比例し、物体の質量(m)に反比例します。
方程式:ma=kF(ｋは定数)
となります。
k＝1として、働く力(F)の単位をN(ニュートン)とすることでできます。
※物体の質量(m):kg、加速度(a):m/s²とすることができます。
質量(m)の物体は、それに働きかける力(F)を受けると、物体に力が加わった方向に加速度(a)を生じます。
そして、
物体の質量(m)と加速度(a)の積は働く力(F)に等しくなります。
ma=F(第2の運動方程式)となります。
アイザック・ニュートンの運動の第2法則:
解説:
ニュートンが著書した「自然哲学の数学的諸原理」における第2法則は、力が働く時間(t)が暗黙に含まれており、「運動状態の変化」は運動量の変化を指し、「力」は現在でいう力積に相当されています。
現代的に則した式:
ある短い時間(△t)に生じた物体の運動量の変化(△p)は、働く力(F)に比例する。
△p=F△t
と表現される。
この両辺を時間(△t)で割って、運動量(ｐ)を時刻(t)の関数(※1)として、
△t→0の極限(※2)をとれば、次のような微分方程式が出るというものです。
dp／dt(t)＝F(t)
運動の第2法則から、
ニュートン力学における運動方程式が導きだされました。
(※1)関数とは:
例えば、自動販売機にお金をボタンを押すとドリンクが出てきます。150円なら150円の飲み物が、120円なら120円の飲み物が出てきます。更に言うと、どれを飲むか選択することで同じ金額でも、異なるドリンクが出てきます。そして、150円のドリンクを購入する時、200円入れる飲み物と50円のお釣りが、150円の物を購入する際に1000円入れれば、飲み物とお釣り850円が。
自動販売機≒関数
入れた金額ｘによって、飲み物はｙである。
y＝xである。ちょっと、出来る人みたい(笑)
(※2)極限とは:
限りなく「ある値」に近づくこと。数学では、「目的の値となったら困るけど、できるだけ近づけるという考えが必要」のようです。ある値を9㎏とした仮定したとき、8.9㎏とか、もっとギリギリを攻めて8・999…㎏。
高等数学の入り口に登場する「極限」
文系筆者が「極限」に関して解説出来るレベルはこれが「限界」（笑）
お疲れさでした！ホッと一息にオススメの記事▽
まとめ
ニュートンの法則「運動の第2法則」
ma＝F《F:力 ｍ:物体の質量 a:加速度》
単位:
- 質量(m)はkg
- 加速度(a)はｍ/s²
- 物質に働く力(F)はN
運動の法則とは、物体に力が働くとき、力の働く方向に加速度が生じることで、その加速度(a)の大きさは、物体に働く力(F)に比例し、物体の質量(m)に反比例します。
以上でまとめとなります。
最後までご覧くださりありがとうございました。
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